Question

Cho tam giác đều ABC có đường cao AD và điểm M nằm trên BC(M khác D).Gọi H,K là chân các đường vuông góc từ M lên AB,AC và J là trung điểm AM.CM tứ giác JHDK là hình thoi

Answer 1

Lời giải:

Bài toán sử dụng tính chất: Trung tuyến đối diện cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng 1 nửa cạnh huyền.

Khi đó ta có:

$HJ=JD=KJ(=\frac{AM}{2}$)

Tam giác vuông $BHM$ có $\widehat{B}=60^0$ nên $BH=\frac{BM}{2}$

$\Rightarrow \frac{BM}{BH}=2=\frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BD}$

Xét tam giác $BAM$ và $BDH$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\frac{BM}{BH}=\frac{BA}{BD}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle BAM\sim \triangle BDH$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{BDH}$

$JD=\frac{AM}{2}=JM$ nên tam giác $JDM$ cân tại $J$

$\Rightarrow \widehat{JDM}=\widehat{JMD}$

Từ các kq trên có:

$\widehat{JDH}=\widehat{JDM}-\widehat{BDH}=\widehat{JMD}-\widehat{BAM}=\widehat{B}=60^0$

Tam giác $JHD$ cân tại $J$ (do $HJ=DJ$) mà lại có 1 góc bằng $60^0$ nên đây là tam giác đều.

$\Rightarrow HJ=DH$

Tương tự: $KJ=DK$

Như vậy: $DH=HJ=KJ=DK$ nên $HJKD$ là hình thoi.

Answer 2

Hình vẽ: