Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Trần Minh Ngọc

Cho x,y là các số thực thỏa mãn x2 + y2 =4 . Tìm GTLN của biểu thức P = 3x2-y2+4xy+4

Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 10 2020 lúc 19:05

\(P=3x^2-y^2+4xy=3x^2-y^2+4xy+x^2+y^2=4x^2+4xy\)

\(\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4x^2+4xy}{x^2+y^2}\)

- Với \(y=0\Rightarrow P=16\)

- Với \(y\ne0\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{4x}{y}}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+1}\)

Đặt \(t=\frac{x}{y}\Rightarrow\frac{P}{4}=\frac{4t^2+4t}{t^2+1}\Leftrightarrow P.t^2+P=16t^2+16t\)

\(\Leftrightarrow\left(P-16\right)t^2-16t+P=0\)

\(\Delta'=64-P\left(P-16\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-P^2+16P+64\ge0\)

\(\Leftrightarrow8-8\sqrt{2}\le P\le8+8\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow P_{max}=8+8\sqrt{2}\) khi \(t=\sqrt{2}+1\) hay \(x=\left(\sqrt{2}+1\right)y\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Hương Ly
Xem chi tiết
nguyễn hoàng lê thi
Xem chi tiết
Nguyễn Thái Sơn
Xem chi tiết
Trần Duy Anh
Xem chi tiết
nguyễn hoàng lê thi
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Tường Vi
Xem chi tiết
Trần Minh Ngọc
Xem chi tiết
thị thanh xuân lưu
Xem chi tiết
NNThúy Vi
Xem chi tiết