Violympic toán 9

Quỳnh Ánh Dương

Chứng minh biểu thức sau:

Bài 1: \(A=\frac{2x+4\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

Chứng minh rằng \(A>6\)

Bài 2: \(B=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\left(x>0,x\ne1\right)\)

Chứng minh rằng \(0< B< 2\)

Diệu Huyền
17 tháng 10 2020 lúc 10:33

Câu 1:

$P=\dfrac{2x+4\sqrt x+2}{\sqrt x}$ `(đkxđ:` $x>0$)

Xét $P-6=\dfrac{2.x+4.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}-6=\dfrac{2x+4.\sqrt[]x-6.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$

$=\dfrac{2.x-2.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$

$=\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}$

Mà $x-\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x>0$
$⇒2.(x-\sqrt[]x+1)>0∀x>0$

Mà $\sqrt[]x>0∀x>0$

$⇒\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}>0∀x>0$
hay $P-6>0⇒P>6∀x>0$ (đpcm)

Câu 2:

$P=\dfrac2{x+\sqrt x+1}$ (đkxđ: $x\ge0$)

Ta có $x+\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x\ge0$

$⇒P>0∀x\ge0$

Xét $P-2=\dfrac{2}{x+\sqrt[]x+1}-2=\dfrac{2-2.x-2.\sqrt[]x-2}{x+\sqrt[]x+1}=\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}$

Mà $x>0⇒\sqrt[]x>0⇒x+\sqrt[]x>0$

$⇒-2(x+\sqrt[]x)<0$

$⇒\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}<0$

$⇒P-2<0$

$⇒P<2$

Vậy $0<P<2$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
An Nhiên
Xem chi tiết
Chuột yêu Gạo
Xem chi tiết
An Nhiên
Xem chi tiết
Trần Thị Hảo
Xem chi tiết
An Nhiên
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Dũng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết