Trong tam giác A'BC, có IJ là đường trung bình
\(\Rightarrow IJ//BC\Rightarrow IJ//\left(ABC\right)\)
Qua O kẻ đường thẳng song song BC lần lượt cắt AB và AC tại E và F
\(\Rightarrow EF\in\left(IJO\right)\)
Trong mặt phẳng (ABB'A'), nối EI kéo dài cắt A'B' tại P
Trong mặt phẳng (ACC'A'), nối JF kéo dài cắt A'C' tại Q
\(\Rightarrow PQFE\) là tiết diện của (IJO) và lăng trụ
Mặt khác (ABC) và (A'B'C') là 2 mp song song nên \(PQ//EF\), do tính đối xứng của hai hình vuông ABB'A' và ACC'A' nên EP=FQ
\(\Rightarrow PQFE\) là hình thang cân
O là trọng tâm đáy \(\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow AE=AF=EF=\frac{2a}{3}\)
Talet \(\Rightarrow\frac{CF}{A'Q}=\frac{A'J}{JC}=1\Rightarrow A'Q=CF=\frac{a}{3}\)
Tương tự có \(A'P=\frac{a}{3}\Rightarrow PQ=\frac{a}{3}\)
Lấy K trên AB sao cho \(AK=\frac{a}{3}\Rightarrow PK||AA'\Rightarrow PK\perp AB\) và \(PK=AA'=a\)
\(EP=\sqrt{PK^2+EK^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{3}\right)^2}=\frac{a\sqrt{10}}{3}\)
Hình thang cân có đủ 3 kích thước (2 cạnh đáy, cạnh bên), bạn tự tính diện tích ra nhé
Trong mp đáy, qua A kẻ đường thẳng d song song BD \(\Rightarrow\) d cố định
Do \(A\in d\) và \(d//BD\Rightarrow d\in\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\left(\alpha\right)\) luôn đi qua d cố định
Kéo dài d lần lượt cắt BC và CD tại E và F
Trong mặt phẳng (SBC), nối EM cắt SB tại H
Trong mặt phẳng (SCD), nối MF cắt SD tại K
Ủa tính tới đây thì hình như bạn ghi sai đề câu b thì phải, tỉ lệ thứ 2 là \(\frac{SD}{SC}\) rất đáng nghi, nó ko phù hợp quy luật
\(\frac{SD}{SK}\) thấy có lý hơn nhiều.
Nếu là \(\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}=const\) thì làm như sau:
BD là đường trung bình tam giác CEF nên \(B\) và D lần lượt là trung điểm CE và CF
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SBC:
\(\frac{SM}{MC}.\frac{CE}{EB}.\frac{BH}{SH}=1\Rightarrow\frac{SM}{MC}=\frac{SH}{2BH}\Rightarrow\frac{SC-SM}{SM}=\frac{2\left(SB-BH\right)}{SH}\)
\(\Rightarrow\frac{SC}{SM}-1=\frac{2SB}{SH}-2\Rightarrow\frac{SC}{SM}=\frac{2SB}{SH}-1\) (1)
Áp dụng Menelaus cho tam giác SCD:
\(\frac{SM}{CM}.\frac{CF}{FD}.\frac{DK}{SK}=1\Leftrightarrow\frac{SM}{CM}=\frac{SK}{2DK}\Leftrightarrow\frac{SC-SM}{SM}=\frac{2\left(SD-SK\right)}{SK}\)
\(\Leftrightarrow\frac{SC}{SM}=\frac{2SD}{SK}-1\) (2)
Cộng vế với vế (1) và (2):
\(\frac{SC}{SM}=\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-1\Leftrightarrow\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}=1\) (đpcm)
