Lời giải:
a) $AF=CE, AD=BC\Rightarrow DF=BE$
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$
$\Rightarrow AB\parallel DN, CM$. Áp dụng định lý Talet:
\(\frac{AB}{DN}=\frac{AF}{DF}=\frac{CE}{BE}\)
$\frac{AB}{CM}=\frac{BE}{CE}$
Nhân theo vế 2 đẳng thức trên suy ra:
$\frac{AB^2}{DN.CM}=1\Rightarrow DN.CM=AB^2$ không đổi.
b) Do $ABCD$ là hình vuông nên:
$DN.CM=AB^2=AD.BC$
$\Rightarrow \frac{DN}{AD}=\frac{BC}{CM}$
$\Rightarrow \triangle DAN\sim \triangle CMB$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{AND}=\widehat{MBC}=90^0-\widehat{BMC}$
hay $\widehat{KNM}=90^0-\widehat{KMN}$
$\Rightarrow \triangle KMN$ vuông tại $K$
$\Rightarrow \widehat{MKN}=90^0$
c)
$MN=DN+CM+DC=DN+CM+AB\geq 2\sqrt{DN.CM}+AB$ theo BĐT AM-GM$
hay $MN\geq 2\sqrt{AB^2}+AB=3AB$
Vậy $MN_{\min}=3AB$. Giá trị này đạt được khi $DN=CM$
$\Leftrightarrow \frac{DN}{AB}=\frac{CM}{AB}$
$\Leftrightarrow \frac{DF}{FA}=\frac{EC}{BE}$
$\Leftrightarrow \frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BE}$
$\Leftrightarrow BE=EC$ hay $E$ là trung điểm của $BC$. Điều này kéo theo $F$ là trung điểm của $AD$.
