Do a;b;c ko đồng thời bằng 0 nên \(a^2+b^2+c^2>0\)
Giả sử cả 3 biểu thức đều không dương
\(\Rightarrow A+B+C\le0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c\right)^2-8\left(ab+bc+ca\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2-2ab-2bc-2ca\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\le0\) (vô lý do \(a^2+b^2+c^2>0\) và 3 số hạng còn lại đều ko âm)
Vậy điều giả sử là sai hay ít nhất 1 trong 3 biểu thức phải dương
Cho a,b,c là 3 số không đồng thời bằng 0. Chứng minh có ít nhất 1 trong các biểu thức sau đây có giá trị dương:
\(A=\left(a+b+c\right)^2-8ab\)
\(B=\left(a+b+c\right)^2-8bc\)
\(C=\left(a+b+c\right)^2-8ac\)
Cho a,b,c là 3 số không đồng thời bằng 0. Chứng minh có ít nhất 1 trong các biểu thức sau đây có giá trị dương:
\(A=\left(a+b+c\right)^2-8ab\)
\(B=\left(a+b+c\right)^2-8bc\)
\(C=\left(a+b+c\right)^2-8ac\)
Cho a,b,c là 3 số không đồng thời bằng 0. Chứng minh có ít nhất 1 trong các biểu thức sau đây có giá trị dương:
\(A=\left(a+b+c\right)^2-8ab\)
\(B=\left(a+b+c\right)^2-8bc\)
\(C=\left(a+b+c\right)^2-8ac\)
Cho a; b; c là 3 số ko đồng thời = 0. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong các biểu thức sau có giá trị dương:
\(x=\left(a-b+c\right)^2+8ab\)
\(y=\left(a-b+c\right)^2+8bc\)
\(z=\left(a-b+c\right)^2-8ca\)
Cho a,b,c là các số nguyên khác nhau đôi một. CMR biểu thức sau có giá trị là 1 số nguyên: \(P=\dfrac{a^3}{\left(a-b\right).\left(a-c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b-a\right).\left(b-c\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c-a\right).\left(c-b\right)}\)
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Bài 1 : Cho 2 số thực a , b thỏa mãn a + b = 5 và ab = 6 . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau : \(a^2+b^2\) ; \(a^3+b^3\); \(a^4+b^4\) ; \(a^5+b^5\) ; \(a^6+b^6\)
Bài 2 :
a) Chứng minh rằng : \(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\) với mọi số thực a , b
b) Cho hằng đẳng thức \(2a^2-5ab+2b^2=x\left(a+b\right)^2+y\left(a-b\right)^2\)
c) Chứng minh rằng \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
d) Chứng minh rằng \(\left(ax+by\right)^2+\left(ay-bx\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\) với mọi số thực a , b , x , y
Chứng minh đẳng thức:
a) Cho \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2.\) Chứng minh rằng a; b là 2 số đối nhau.
b) Cho \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c.\right)\) Chứng minh rằng a = b = c = 1
c) Cho \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+ac+bc\right).\) Chứng minh rằng a = b = c
Bài 3:
1) Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: ab+bc+ca=1
Tính giá trị biểu thức: \(A=\frac{\left(a+b\right)^2\left(b+c^2\right)\left(c+a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)
2) Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a+b\\x^2+y^2=a^2+b^2\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn+yn=an+bn.
