Violympic toán 7

Bùi Quang Minh

1.cho a,b nguyên dương t/m a>b và a-b=5b^2-4a^2. CMR a-b là số chính phương.

Akai Haruma
20 tháng 9 2020 lúc 23:56

Lời giải:

Bài này có lẽ tầm lớp 8,9 chứ không phải lớp 7.

$a-b=5b^2-4a^2=b^2-4(a^2-b^2)$

$\Leftrightarrow a-b+4(a^2-b^2)=b^2$

$\Leftrightarrow (a-b)(1+4a+4b)=b^2$

$1+4a+4b, a-b$ đều là số nguyên dương.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a-b, 1+4a+4b$

Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ 1+4a+4b\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4a-4b\vdots d\\ 1+4a+4b\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow 1+8b\vdots d(1)\)

Mặt khác, vì $a-b\vdots d, 1+4a+4b\vdots d\Rightarrow b^2=(a-b)(1+4a+4b)\vdots d^2$

$\Rightarrow b\vdots d(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 1\vdots d$

Vậy $(a-b, 1+4a+4b)=1$. Mà tích của chúng là scp nên bản thân mỗi số đó cũng là scp.

Vậy $a-b$ là scp.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Minh Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Quỳnh Nga
Xem chi tiết
Trần Minh Hưng
Xem chi tiết
Jin Yi Hae
Xem chi tiết
_ Yuki _ Dễ thương _
Xem chi tiết
crewmate
Xem chi tiết
Aquarius
Xem chi tiết
Natsu Dragneel
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết