Question

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Answer 1

Câu 1:

Giả sử $\sqrt{7}$ là số hữu tỉ. Khi đó ta có thể viết $\sqrt{7}$ dưới dạng $\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}^*$, $(a,b)=1$

Có:

$\sqrt{7}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow 7b^2=a^2\Rightarrow a^2\vdots 7$

$\Rightarrow a\vdots 7$ (do $7$ là số nguyên tố)

$\Rightarrow a^2\vdots 49$

Hay $7b^2\vdots 49$

$\Leftrightarrow b^2\vdots 7$

$\Rightarrow b\vdots 7$

Như vậy $ƯC(a,b)\neq 1$ (trái với điều kiện đặt ra)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Answer 2

Câu 2:

a)

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2adbc$

$=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2$

$=(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2)$

$=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ (đpcm)

b)

BĐT đã cho tương đương với:

$a^2c^2+b^2d^2+2acbd\leq a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$

$\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2-2abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi số thực $a,b,c,d$)

Do đó BĐT được chứng minh.

Answer 3

Câu 3:

Ta có:

$(x-y)^2\geq 0$ với mọi số thực $x,y$

$\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 2xy$

$\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq x^2+y^2+2xy$

$\Leftrightarrow 2S\geq (x+y)^2$

$\Leftrightarrow 2S\geq 4$

$\Leftrightarrow S\geq 2$

Vậy $S_{\min}=2$. Giá trị này đạt được tại $x=y=1$