Bài 2: Dãy số

Thảo Phương

Cho \(u_n\)thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1;u_2=2\\u_{n+1}=u^2_n-u^{ }_n+2\end{matrix}\right.\)với \(n\ge2\)

Đặt \(S_n=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_n^2+1\right)-1\) với \(n\ge1\)

Chứng minh rằng: \(S_n\) là số chính phương

Nguyễn Việt Lâm
18 tháng 9 2020 lúc 13:51

\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)

\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)

\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)

Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:

- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))

- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)

Ta cần chứng minh:

\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)

Thật vậy:

\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)

\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)

\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)

\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)

Bình luận (0)
Thảo Phương
22 tháng 9 2020 lúc 22:43

e cảm ơn ạ

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Đào Mai Anh
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết