Question

Có 2020 binh lính xếp thành 1 hàng. Bắt đầu từ người đầu tiên bên trái, mỗi người sẽ đếm một số theo quy tắc: 1,2,3,1,2,3,... Bắt đầu từ người đầu tiên bên phải, mỗi người cũng đếm một số theo quy tắc : 1,2,3,4,1,2,3,4,..... Hỏi có bao nhiêu người đếm "3" theo cả hai hướng trên?

Answer 1

Do 2020 chia hết cho 4 nên bài toán có thể viết lại: theo hướng từ trái qua phải, mỗi người sẽ lần lượt điểm danh 2 lần, lần thứ nhất theo thứ tự 1,2,3,1,2,3... và lần thứ 2 theo thứ tự 4,3,2,1,4,3,2,1...

Như vậy, ở lần điểm danh thứ nhất những người đếm 3 sẽ nằm ở vị trí \(3k\) (theo chiều trái qua phải) với \(1\le k\le673\)

Ở lần điểm danh thứ hai, những người đếm 3 nằm ở vị trí \(4n-2\) với \(1\le n\le505\)

Vị trí trùng nhau khi: \(3k=4n-2\)

\(\Leftrightarrow3\left(k+2\right)=4\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow k+2=4m\Rightarrow k=4m-2\)

Mà \(1\le k\le673\Rightarrow1\le4m-2\le673\)

\(\Rightarrow3\le4m\le675\Rightarrow1\le m\le168\)

Có 168 người đếm 3 theo cả 2 hướng