Question

Dạ mọi người giúp em bài Toán này với ạ! Dạ em cảm ơn ạ

Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}+\frac{3}{a+b+c}\ge\:4\)

Answer 1

Sửa đề: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{3}{a+b+c}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}+\frac{3}{a+b+c}\ge4\)

\(\Leftrightarrow P=a^2c+b^2a+c^2b+\frac{3}{a+b+c}\ge4\)

Ta có:

\(a^2c+a^2c+b^2a\ge3\sqrt[3]{a^3.\left(abc\right)^2}=3a\)

\(b^2a+b^2a+c^2b\ge3\sqrt[3]{b^3\left(abc\right)^2}=3b\)

\(c^2b+c^2b+a^2c\ge3\sqrt[3]{c^3\left(abc\right)^2}=3c\)

Cộng vế với vế: \(a^2c+b^2a+c^2b\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow P\ge a+b+c+\frac{3}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{3}+\frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\frac{3\left(a+b+c\right)}{3\left(a+b+c\right)}}+\frac{2}{3}.3\sqrt[3]{abc}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)