Violympic toán 9

Ngô Hoàng Thiên Ân

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB tới đường tròn đó ( A và B là các tiếp điểm). Gọi P là điểm nằm trên đoạn thẳng AB (P khác A,B và P gần A hơn B). Qua P vẽ đường thẳng d vuông góc với Op, d cắt các đường thẳng MB, MA lần lượt tại D và E

a) C/m tứ giác OPDB nội tiếp đường tròn

b) C/m OD=OE

c) Cho biết OM=2R. Tính theo R, phần diện tích tam giác AMB nằm ngoài đường tròn (O;R)

Akai Haruma
29 tháng 8 2020 lúc 23:36

Lời giải:

a)

$\widehat{OPD}=90^0$ (giả thiết)

$\widehat{OBD}=\widehat{OBM}=90^0$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{OPD}+\widehat{OBD}=180^0$

Hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $OPDB$ nội tiếp.

b)

Vì $OPDB$ nội tiếp nên $\widehat{ODP}=\widehat{OBP}=\widehat{OBA}$

Ta cũng chứng minh được tứ giác $AEOP$ nội tiếp (do $\widehat{OPE}=\widehat{OAE}=90^0$)

$\Rightarrow \widehat{OEP}=\widehat{OAP}=\widehat{OAB}$

Mà $\widehat{OBA}=\widehat{OAB}$ (do tg $OAB$ cân tại $O$)

$\Rightarrow \widehat{ODP}=\widehat{OEP}$

$\Rightarrow OED$ là tam giác cân tại $O$

$\Rightarrow OE=OD$ (đpcm)

c)

$\cos MOA=\frac{OA}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MOA}=60^0$
$\Rightarrow \widehat{AOB}=2\widehat{MOA}=120^0$

Diện tích hình quạt $OAB$ là:

\(S_{qAOB}=\frac{120}{360}.R^2\pi =\frac{\pi R^2}{3}\)

Gọi $K$ là giao $MO$ và $AB$ thì $AK\perp MO$.

$MA=\sqrt{MO^2-AO^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=\sqrt{3}R$

$AK=\frac{AM.AO}{MO}=\frac{\sqrt{3}R.R}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$\Rightarrow AB=2AK=\sqrt{3}R$

$S_{AMBO}=\frac{AB.MO}{2}=\frac{\sqrt{3}R.2R}{2}=\sqrt{3}R^2$

Do đó phần diện tích tam giác $AMB$ nằm ngoài đường tròn là:

$S_{AMBO}-S_{qAOB}=\sqrt{3}R^2-\frac{\pi R^2}{3}$ (đvdt)

Bình luận (0)
Akai Haruma
29 tháng 8 2020 lúc 23:38

Hình vẽ:
Violympic toán 9

Bình luận (0)
Ngô Hoàng Thiên Ân
30 tháng 8 2020 lúc 10:09

Em cảm ơn ạ

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết
Xích U Lan
Xem chi tiết
做当当
Xem chi tiết
NT Ánh
Xem chi tiết
Nam Hoàng
Xem chi tiết
nguyen thi hoa trinh
Xem chi tiết
Vũ Thị Minh Anh
Xem chi tiết
nguyen ngoc son
Xem chi tiết