Question

Cho 2 số thực a+b\(\ge2\). CMR trong 2 phương trình sau có ít nhất 1 phương trình có nghiệm:

\(x^2+2a^2bx+b^5=0\); \(x^2+2ab^2x+a^5=0\)

Answer 1

Lời giải:
Giả sử cả 2 phương trình đều vô nghiệm. Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta'_1=(a^2b)^2-b^5< 0\\ \Delta'_2=(ab^2)^2-a^5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^4b^2< b^5\\ a^2b^4< a^5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^4< b^3\\ b^4< a^3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^4+b^4< a^3+b^3(*)\)

Mặt khác, từ điều kiện $a+b\geq 2$ suy ra:

$2(a^4+b^4-a^3-b^3)\geq 2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\geq 0$

$\Rightarrow a^4+b^4-a^3-b^3\geq 0$

$\Rightarrow a^4+b^4\geq a^3+b^3$ (trái với $(*)$)

Vậy điều giả sử là sai, tức là ít nhất 1 trong 2 phương trình có nghiệm.