Question

Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=x⁴ +2(m-2)x²+m²-5m+6 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều

Answer 1

Để hàm số có 3 cực trị \(\Leftrightarrow m-2< 0\Rightarrow m< 2\)

\(y'=4x^3+4\left(m-2\right)x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\sqrt{2-m}\\x=-\sqrt{2-m}\end{matrix}\right.\)

Gọi 3 cực trị lần lượt là A; B; C

\(\Rightarrow A\left(0;m^2-5m+6\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{2-m};2-m\right)\) ; \(C\left(\sqrt{2-m};2-m\right)\)

Gọi I là trung điểm BC \(\Rightarrow I\left(0;2-m\right)\) ; \(BC=2\sqrt{2-m}\) ; \(AI=m^2-4m+4\)

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi:

\(AI=\frac{\sqrt{3}}{2}BC\Leftrightarrow\left(2-m\right)^2=\sqrt{3\left(2-m\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(2-m\right)^3=3\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{3}\)