Violympic toán 9

Agami Raito

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=3

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{a}{b^3+ba}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ac}\)

Akai Haruma
23 tháng 8 2020 lúc 0:22

Lời giải:
$P=\frac{a}{b(b^2+a)}+\frac{b}{c(c^2+b)}+\frac{c}{a(a^2+c)}$

$=\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}+\frac{1}{c}-\frac{c}{b+c^2}+\frac{1}{a}-\frac{a}{c+a^2}$

$=\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{b}{a+b^2}$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{b}{a+b^2}\leq \frac{b}{2\sqrt{ab^2}}=\frac{1}{2\sqrt{a}}$

$\Rightarrow \sum \frac{b}{a+b^2}\leq \sum \frac{1}{2\sqrt{a}}$

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{1}{a}-\sum\frac{1}{2\sqrt{a}}$

$=\sum\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{3}{4}\sum \frac{1}{a}-\frac{3}{4}$

$\geq \frac{3}{4}\sum \frac{1}{a}-\frac{3}{4}$

$\geq \frac{3}{4}.\frac{9}{a+b+c}-\frac{3}{4}$ (theo Cauchy_Schwarz)

$=\frac{3}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
linh angela nguyễn
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Vũ Cao cườngf ff
Xem chi tiết
Vampire
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết