Question

Chứng minh các biểu thức sau là số vô tỉ:

\(P=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)

Answer 1

Lời giải:

Xét mẫu số:

$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}$

$=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4$

$=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}$

$=(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+(\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8})$

$=(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})+\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})$

$=(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4})(1+\sqrt{2})$

Do đó: $P=1+\sqrt{2}$

Mà $\sqrt{2}$ là số vô tỉ (dễ chứng minh) và $1$ là số hữu tỉ nên $P$ là số vô tỉ (đpcm)