§1. Đại cương về phương trình

Văn Thắng Hồ

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

a, \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4-x\) f, \(2x^2-11x+23=4\sqrt{x+1}\)

b, \(\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x-1}+2x+1\) g, \(\frac{4}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}\)

c, \(\left|x-16\right|^4+\left|x-17\right|^3=1\) h, \(9\left(\sqrt{4x+1}-\sqrt{3x-2}\right)=x+3\)

d, \(\left(x+1\right)\sqrt{x+2}+\left(x+6\right)\sqrt{x+7}=x^2+7x+12\)

e, \(\left(4x^3-x+3\right)^3-x^3=\frac{3}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 12:50

1.

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}-1+\sqrt{x^2+3}-2+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{2x-1}+1}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+3}+2}+x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x-1}+1}+\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}+2}+1\right)=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 12:53

2.

ĐKXĐ: ...

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+x+1}=a>0\\\sqrt{x^2-3x-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b+\frac{1}{2}\left(a^2-b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\left(1\right)\\a=2-b\left(2\right)\end{matrix}\right.\)


\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+x+1=x^2-3x-1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+1}=2-\sqrt{x^2-3x-1}\)

\(\Rightarrow x^2+x+1=x^2-3x+3-4\sqrt{x^2-3x-1}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x^2-3x-1}=1-2x\)

\(\Rightarrow4x^2-12x-4=4x^2-4x+1\)

\(\Rightarrow x=-\frac{5}{8}\)

Do các bước biến đổi ko tương đương nên cần thay nghiệm này vào pt ban đầu để kiểm tra (bạn tự kiểm tra)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 12:58

3.

- Với \(x=\left\{16;17\right\}\) là 2 nghiệm của pt

- Với \(x< 16\):

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-16\right|^4>0\\\left|x-17\right|>1\Rightarrow\left|x-17\right|^3>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-16\right|^4+\left|x-17\right|^3>1\)

Pt vô nghiệm

- Với \(x>17\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-17\right|^3>0\\\left|x-16\right|>1\Rightarrow\left|x-16\right|^4>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-16\right|^4+\left|x-17\right|^3>1\)

Pt vô nghiệm

- Với \(16< x< 17\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \left|x-16\right|< 1\\0< \left|17-x\right|< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-16\right|^4< x-16\\\left|17-x\right|^3< 17-x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-16\right|^4+\left|x-17\right|^3< x-16+17-x=1\) (vô nghiệm)

Vậy pt có đúng 2 nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=16\\x=17\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 13:13

4.

ĐKXĐ: ...

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(\sqrt{x+2}-2\right)+\left(x+6\right)\left(\sqrt{x+7}-3\right)=x^2+2x-8\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}{\sqrt{x+7}+3}=\left(x-2\right)\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\frac{x+1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{x+6}{\sqrt{x+7}+3}=x+4\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1):

Do \(x\ge-2\Rightarrow VT\le\frac{x+1}{2}+\frac{x+6}{3+\sqrt{5}}< \frac{x+1}{2}+\frac{x+6}{5}< x+4\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 13:23

5.

Đặt \(4x^3-x+3=t\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x^3-x+3=t\\t^3-x^3=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x^3-x+3=t\\2t^3-2x^3=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2x^3+2t^3-x-t=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+t\right)\left(2x^2-2xt+2t^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+t=0\left(1\right)\\2x^2-2xt+2t^2-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1) \(\Leftrightarrow4x^3+3=0\Rightarrow x=-\sqrt[3]{\frac{3}{4}}\)

Xét \(\left(2\right)\) : \(\Delta'=t^2-2\left(2t^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow t^2\le\frac{2}{3}\) \(\Rightarrow-\sqrt{\frac{8}{27}}\le t^3\le\sqrt{\frac{8}{27}}\)

Tương tự ta có \(-\sqrt{\frac{8}{27}}\le x^3\le\sqrt{\frac{8}{27}}\)

\(\Rightarrow x^3-t^3\le2\sqrt{\frac{8}{27}}< \frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) vô nghiệm

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 13:28

6.

ĐKXD: ...

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-6x+9\right)+\left(x+5-4\sqrt{x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-3\right)^2+\frac{\left(x-3\right)^2}{x+5+4\sqrt{x+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2\left(2+\frac{1}{x+5+4\sqrt{x+1}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

7.

\(\sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{2x-\frac{5}{x}}+\frac{4}{x}-x=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-\frac{1}{x}}=a\ge0\\\sqrt{2x-\frac{5}{x}}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=\frac{4}{x}-x\)

\(\Rightarrow a-b+a^2-b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=2x-\frac{5}{x}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{4}{x}\Rightarrow x=\pm2\)

Thế nghiệm lại pt ban đầu để thử (hoặc là bạn tìm ĐKXĐ từ đầu)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
16 tháng 8 2020 lúc 13:33

8.

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(x+3\right)}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}=x+3\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\left(l\right)\\\frac{9}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}}=1\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{3x-2}=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}-5+\sqrt{3x-2}-4=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(x-6\right)}{\sqrt{4x+1}+5}+\frac{3\left(x-6\right)}{\sqrt{3x-2}+4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(\frac{4}{\sqrt{4x+1}+5}+\frac{3}{\sqrt{3x-2}+4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=6\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Bảo Nguyễn
Xem chi tiết
Phan thu trang
Xem chi tiết
Miner Đức
Xem chi tiết
Chu Văn Long
Xem chi tiết
Alice
Xem chi tiết
Thương Thương
Xem chi tiết
Nguyễn Hải An
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Linh
Xem chi tiết
TFBoys Dịch Dương Thiên...
Xem chi tiết