Violympic toán 9

Nguyễn Lê Diễm My

Câu 1: Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\). Tính giá trị của biểu thức: \(P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\).

Câu 2: Rút gọn: \(A=\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}\)

Câu 3: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R; C là trung điểm của đoạn OA, D là một điểm của đường tròn sao cho BD = R. Đường trung trực của OA cắt AD tại E và BD tại F.

a) Tính các đoạn AE, CE và ED theo R.

b) Chứng tỏ rằng ΔADB và ΔFCB đồng dạng. Tính FB và FC theo R.

c) Chứng tỏ rằng BE vuông góc với AF.

d) Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn không chứa điểm D, tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn DM.

Câu 4: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị là (P)

a) Xác định a biết rằng (P) đi qua điểm A(-2; -1) và vẽ (P).

b) Gọi B là điểm trên (P) có hoành độ bằng 4. Viết phương trình đường thẳng AB.

c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc (P) và song song với AB.

Câu 5: Cho a, b, c là ba số dương thỏa a + b + c = 1. Chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge64\)

Câu 6: Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít; nếu chỉ có thêm một can 11 lít và một can 6 lít để không?

Help me!!!

Nguyễn Lê Phước Thịnh
12 tháng 8 2020 lúc 10:15

Câu 1:

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{3}{a^2b}+\frac{3}{ab^2}+\frac{1}{b^3}=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=-\frac{3}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{-3}{ab}\cdot\frac{-1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

Ta có: \(P=\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\)

\(=\frac{abc}{c^3}+\frac{abc}{a^3}+\frac{cab}{b^3}\)

\(=abc\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)\)

\(=abc\cdot\frac{3}{abc}=3\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2020 lúc 11:31

6.

Chưa biết đây đã phải cách tối ưu không

Thứ tự 3 can lần lượt là can 16 lít, can 11 lít và can 6 lít:

(16;0;0) ; (5;11;0); (5;5;6); (0;10;6); (6;10;0); (6;4;6); (12;4;0); (12;0;4); (1;11;4); (1;9;6); (7;9;0); (7;3;6); (13;3;0); (13;0;3); (2;11;3); (2;8;6); (8;8;0)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2020 lúc 11:37

5.

\(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge3\)

Ta có:

\(\frac{1}{1+\frac{1}{a}}+\frac{1}{1+\frac{1}{b}}+\frac{1}{1+\frac{1}{b}}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)

\(\frac{\frac{1}{a}}{1+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{b}}{1+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{c}}{1+\frac{1}{c}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{abc}}{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow3\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}+\frac{3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}}{\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}\ge1+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\right)^3\ge\left(1+3\right)^3=64\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2020 lúc 11:43

4.

Thay tọa độ A vào pt (P) ta được:

\(-1=a.\left(-2\right)^2\Rightarrow a=-\frac{1}{4}\)

Phương trình (P): \(y=-\frac{1}{4}x^2\)

\(x_B=4\Rightarrow y_B=-\frac{1}{4}x_B^2=-4\Rightarrow B\left(4;-4\right)\)

Gọi phương trình AB có dạng \(y=ax+b\) , do A và B đều thuộc AB nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2a+b=-1\\4a+b=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x-2\)

Đường thẳng d song song AB nên pt có dạng: \(y=-\frac{1}{2}x+c\) với \(c\ne-2\)

Pt hoành độ giao điểm d và (P):

\(-\frac{1}{4}x^2=-\frac{1}{2}x+c\Leftrightarrow x^2-2x+4c=0\) (1)

d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-4c=0\Rightarrow c=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\left(d\right):y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2020 lúc 11:47

2.

Nhận xét: \(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}>\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}\Rightarrow A>0\)

Ta có: \(A^2=\frac{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}+\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}-2\sqrt{\sqrt{8}-\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\)

\(=\frac{2\sqrt[4]{8}-2\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=\frac{2\left(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}\right)}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=2\)

\(\Rightarrow A=\sqrt{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Thanh Thảoo
Xem chi tiết
Nguyễn Lê Diễm My
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
NT Ánh
Xem chi tiết
nguyễn thu hương
Xem chi tiết
nấm nhỏ
Xem chi tiết
Bin Bé
Xem chi tiết