Question

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có B, C cố định, A chuyển động trên (O). M là trung điểm AB. Kẻ \(MK\perp AC\left(K\in AC\right)\). Chứng minh rằng K chuyển động trên một đường tròn cố định.

Answer 1

Gọi E là trung điểm của BC, D là trung điểm của OE.

Gọi F là trung điểm của AK.

Xét trường hợp A thuộc cung lớn BC (TH A thuộc cung nhỏ BC tương tự).

Ta có: \(\widehat{OBC}=\frac{180^o-\widehat{BOC}}{2}=90^o-\widehat{BAC}=\widehat{AMK}\).

Từ đó tam giác OBE đồng dạng với tam giác AMK.

Mà F là trung điểm của AK, D là trung điểm của OE, và AK, OE là hai cạnh tương ứng

Nên \(\widehat{MFK}=\widehat{BDE}\).

Mặt khác, MF là đường TB của tam giác ABK nên MF // BK.

Do đó \(\widehat{BDE}=\widehat{MFK}=\widehat{BKC}\).

Suy ra \(\widehat{BKC}=\frac{\widehat{BDC}}{2}\).

Do đó K thuộc đường tròn tâm D bán kính DB.

Mà D, B cố định nên ta có đpcm.