Question

Cho \(\frac{a+b+c}{b}=\frac{b+c-a}{c}=\frac{a-c+b}{a}\)

Tính: A= \(\frac{\left(a+c\right)\left(c-b\right)\left(b-a\right)}{abc}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a+b+c}{b}=\frac{b+c-a}{c}=\frac{a-c+b}{a}=\frac{b+c-a+a-c+b}{c+a}=\frac{2b}{c+a}$

$\Rightarrow 2b^2=(a+b+c)(c+a)$

$\Leftrightarrow (a+c)^2+b(c+a)-2b^2=0$

$\Leftrightarrow (a+c-b)(a+c+2b)=0$

$\Rightarrow a+c-b=0$ hoặc $a+c+2b=0$

Nếu $a+c-b=0\Rightarrow a+c=b$

Khi đó: $A=\frac{b(c-a-c)(a+c-a)}{abc}=\frac{b(-a)c}{abc}=-1$

Nếu $a+c+2b=0\Rightarrow a+c+b=-b$

Thay vào đẳng thức ban đầu suy ra: $-1=\frac{b+c-a}{c}=\frac{a-c+b}{a}$

$\Rightarrow b-a=-2c; c-b=2a$

$\Rightarrow A=\frac{-2b.(2a)(-2c)}{abc}=4$