Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Vương Thiên Nhi

CMR: Nếu x+y=1 và a,b,x,y là các số thực không âm thì

\(ax+by\ge a^xb^y\)

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 13 tháng 8 2020 lúc 1:42

Lời giải:

Với $x=0,1$ thì BĐT hiển nhiên đúng. Xét $0< x< 1$

Đặt $a=bt$ với $t\geq 0$

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:

$tx+y\geq t^x$

$\Leftrightarrow tx+1-x-t^x\geq 0(*)$

Xét hàm $f(t)=tx+1-x-t^x$ với $t\in [0;+\infty)$

$f'(t)=x-xt^{x-1}=x(1-t^{x-1})=0$ khi $t=1$

Lập BBT ta thấy $f(t)\geq f(1)=0$

Vậy BĐT $(*)$ được chứng minh

Ta có đpcm.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Loading...