Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Thành Công

cho các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a>1, b>1 và \(a^{x^2}=b^{y^2}=\left(ab\right)^2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=8x+y là \(m+n\sqrt{p},m,n,p\in N,p\le15\), giá trị của m+n+p thuộc khoảng:

A. (7;9) B. [10;13) C. [18;21) D. [14;16)

Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 8 2020 lúc 11:11

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2log_a\left(ab\right)=2\left(1+log_ab\right)\\y^2=2log_b\left(ab\right)=2\left(1+log_ba\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2log_ab=x^2-2\\2log_ba=y^2-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x^2-2\right)\left(y^2-2\right)=4\)

\(\Leftrightarrow y^2-2=\frac{4}{x^2-2}\Rightarrow y^2=\frac{2x^2}{x^2-2}\) (\(x\ge\sqrt{2}\))

\(\Rightarrow P=f\left(x\right)=8x+\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-2}}=0\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=8-\frac{2\sqrt{2}x}{\left(x^2-2\right)^2\sqrt{\frac{x^2}{x^2-2}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)^3=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x^2-2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=P\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)=5\sqrt{10}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=0\\n=5\\m=10\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m+n+p=15\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
trần nam
Xem chi tiết
Nguyễn Kiều Hạnh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bích Du
Xem chi tiết
Huỳnh Văn Thiện
Xem chi tiết
Minh Anh
Xem chi tiết
Thị Thanh Thảo Tô
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh
Xem chi tiết
Phương Huỳnh
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết