Violympic toán 9

Trí Phạm

Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Từ một điểm I thuộc miền trong tam giác kẻ IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm I sao cho \(AL^2+BH^2+CK^2\) nhỏ nhất.

Nguyễn Lê Diễm My
8 tháng 8 2020 lúc 14:20

* Tự vẽ hình nha:

Xét các tam giác vuông ALI và AKI ta có:

AL2 + LI2 = AI2 = AK2 + KI2

BH2 + IH2 = BI2 = BL2 + LI2

CK2 + KI2 = CI2 = CH2 + IH2

=> AL2 + BH2 + CK2 = AK2 + CH2 + BL2

=> 2(AL2 + BH2 +CK2) = (AL2 + LB2) + (BH2 + HC2) + (CK2 + KA2)

\(\frac{\left(AL+LB\right)^2}{2}+\frac{\left(BH+HC\right)^2}{2}+\frac{\left(CK+KA\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)

=> ( AL2 + BH2 + CK2) ≥ \(\frac{1}{4}\)(AB2 + BC2 + CA2)

Vậy minAL2 + BH2 + CK2 \(\frac{1}{4}\)(AB2 + BC2 + CA2)

Dấu " = " xảy ra ⇔ I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN