Question

Tìm m để phương trình: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}-\sqrt{4x-x^2-3}=m\) có nghiệm.

Answer 1

ĐKXĐ: \(1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=a\Rightarrow\sqrt{2}\le a\le2\)

\(a^2=2+2\sqrt{4x-x^2-3}\Rightarrow\sqrt{4x-x^2-3}=\frac{a^2-2}{2}\)

Pt trở thành: \(a-\frac{a^2-2}{2}=m\) có nghiệm

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}a^2+a+1=m\) có nghiệm

Xét \(f\left(a\right)=-\frac{1}{2}a^2+a+1\) trên \(\left[\sqrt{2};2\right]\)

\(f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\) ; \(f\left(2\right)=1\Rightarrow1\le f\left(a\right)\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow1\le m\le\sqrt{2}\)