Violympic toán 9

Hạ Vy

cho x,y,z >0 và x+y+z=3. So sánh:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\) với 1

 Mashiro Shiina
6 tháng 8 2020 lúc 8:20

Do x+y+z=3 nên: \(3x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

tương tự và thay vào biểu thức

\(\Rightarrow A=\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+\frac{y}{y+\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{z+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

Áp dụng bđt Bunyakovsky:

\(A\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{y+\sqrt{yz}+\sqrt{yx}}+\frac{z}{z+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Đặng Kim Anh
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Muốn đỗ chuyên Toán
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Agami Raito
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết