Cho tam giác ABC vuông cân tại A,M là trung điểm của BC.Trên đoạn thẳng MC lấy điểm D tùy ý (khác M và C)..Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AD.Hai đường thẳng AM và BH cắt nhau tại K.Chứng minh:
a)ABH^=CAI^
b)AH=CI
c)Đường thẳng DK vuông góc với đường thẳng AB
d)Tổng AH2+AI2 không phụ thuộc vào vị trí điểm D và AH2+AI2=BM2+CM2.
Hình bạn tự vẽ nhé <3
a/ Ta có :
+) \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\) (2 góc phụ nhau)
+) \(\widehat{BAH}+\widehat{IAC}=90^0\) (2 góc phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\left(đpcm\right)\)
b/ Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAI\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\\AB=AC\\\widehat{AHB}=\widehat{AIC}=90^0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABH=\Delta CAI\left(g-c-g\right)\)
\(\Leftrightarrow AH=CI\) \(\left(đpcm\right)\)
c/ Xét \(\Delta ABD\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}AM\perp BD\\BH\perp AD\end{matrix}\right.\)
Lại có :
K là giao điểm của AM và BH
\(\Leftrightarrow K\) là trực tâm của \(\Delta ABD\)
\(\Leftrightarrow DK\perp AB\left(đpcm\right)\)
