Question

Cho Ẻ={1,2,3,4,5}. CMR : Với mọi cách chia E thành hai tập hợp con A và B sao cho A Ω B = ϕ thì trong hai tập A và B luôn tồn tại một tập có tính chất: Tồn tại hai số thuộc tập này có hiệu bằng một số cũng thuộc tập này.

Answer 1

Lời giải:

Phản chứng. Giả sử tồn tại cách chia mà trong 2 tập A hoặc B, không có tập nào có hiệu 2 phần tử cũng thuộc chính tập hợp đó.

Khi đó, không mất tổng quát giả sử $1\in A$. Khi đó $2\not\in A$ vì như vậy sẽ vi phạm điều giả sử.

$\Rightarrow 2\in B$

$\Rightarrow 4\not\in B$ vì như vậy sẽ vi phạm điều giả sử

$\Rightarrow 4\in A$

$1,4\in A\Rightarrow 3\in B$

Vậy $1,4\in A$ và $2,3\in B$

Giờ còn 5. Số 5 thuộc tập hợp A hay B thì cũng vi phạm giả thiết. Do đó điều giả sử là sai

Ta có đpcm.

Answer 2

Bạn xem lại đề. Giả sử $A=\left\{1;2\right\}$ và $B=\left\{3;4;5\right\}$ thì rõ ràng không tập nào thỏa mãn tính chất trên.