§5. Số gần đúng. Sai số

Hàn Vũ

Cho a,b,c là số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}>=\frac{3}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\)

Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 8 2020 lúc 13:43

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\ge b^3\ge c^3\\\frac{1}{b+c}\ge\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{a+b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b+c}\ge\frac{b^3}{c+a}\ge\frac{c^3}{a+b}\)

Do đó áp dụng BĐT Chybeshev:

\(\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\right)\left[\left(a+b\right)+\left(c+a\right)+\left(b+c\right)\right]\ge3\left[\frac{a^3}{b+c}.\left(b+c\right)+\frac{b^3}{c+a}\left(c+a\right)+\frac{c^3}{a+b}\left(a+b\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\right)\left[\left(a+b\right)+\left(c+a\right)+\left(b+c\right)\right]\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hàn Vũ
Xem chi tiết
Hàn Vũ
Xem chi tiết
Hàn Vũ
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Bùi Thị Thanh Trúc
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Trần Minh Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Tường Vân
Xem chi tiết