Question

Chứng minh √7 +3 là số vô tỉ

Answer 1

Lời giải:

Muốn chứng minh $\sqrt{7}+3$ là số vô tỉ, ta chỉ cần chỉ ra $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Thật vậy. Phản chứng giả sử $\sqrt{7}\in\mathbb{Q}$. Khi đó đặt $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ với $a,b\in\mathbb{N}; b\neq 0; (a,b)=1$

$\Rightarrow a^2=7b^2\Rightarrow a^2\vdots 7$

Mà $7\in\mathbb{P}$ nên $a\vdots 7$

$\Rightarrow 7b^2=a^2\vdots 49$

$\Rightarrow b^2\vdots 7\Rightarrow b\vdots 7$

Như vậy $a,b$ cùng chia hết cho $7$ (trái với điều kiện $(a,b)=1$)

Do đó điều giả sử là sai. Tức $\sqrt{7}$ là số vô tỉ.

Mà $3$ là số hữu tỉ nên $\sqrt{7}+3$ là số vô tỉ (đpcm)