Question

Cho tam giác ABC nhọn Kẻ BD vuông AC tại D, CE vuông AB tại E,BD cắt CE tại H

Kẻ HF vuông BC ,CM. A H F thẳng hàng

Gọi M là trung điểm BC ,I là trung điểm ED. Chứng minh MI là đg cao của tam giác EDM

Answer 1

a) Xét ΔABC có

BD là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

CE là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BD\(\cap\)CE={H}

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(định lí ba đường cao của tam giác)

⇒AH⊥BC

mà HF⊥BC

và AH và HF có điểm chung là H

nên A,H,F thẳng hàng(đpcm)

b) Ta có: ΔBDC vuông tại D(BD⊥AC)

mà DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(DM=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Ta có: ΔEBC vuông tại E(CE⊥AB)

mà EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(M là trung điểm của BC)

nên \(EM=\frac{BC}{2}\)(định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra DM=EM

Xét ΔMED có ME=MD(cmt)

nên ΔMED cân tại M(định nghĩa tam giác cân)

mà MI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy ED(I là trung điểm của ED)

nên MI là đường cao ứng với cạnh ED(định lí tam giác cân)

hay MI là đường cao của ΔMED(đpcm)