Câu hỏi của Hồ Hương Giang

Question

Giải phương trình:

a, sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

b, cosx.cox2x.cos4x.cos8x=1/16

c, 1/cosx + 1/sin2x = 2/sin4x

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

a/

$sin^3x-cos^3x=\left(sinx-cosx\right)\left(1+sinx.cosx\right)$

$sin^4x-cos^4x=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)$

Do đó pt tương đương:

$sinx-cosx+2\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)+\left(sinx-cosx\right)\left(1+sinx.cosx\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(2+2\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=cosx\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\2+2\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx=0\left(1\right)\end{matrix}\right.$

Xét (1), đặt $sinx+cosx=a\Rightarrow sinx.cosx=\frac{a^2-1}{2}$ với $\left|a\right|\le\sqrt{2}$

$\left(1\right)\Leftrightarrow2+2a+\frac{a^2-1}{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+4a+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\a=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sinx+cosx=-1\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.$Câu trả lời: a/

$sin^3x-cos^3x=\left(sinx-cosx\right)\left(1+sinx.cosx\right)$

$sin^4x-cos^4x=\left(sin^2x-cos^2x\right)\left(sin^2x+cos^2x\right)=\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)$

Do đó pt tương đương:

$sinx-cosx+2\left(sinx-cosx\right)\left(sinx+cosx\right)+\left(sinx-cosx\right)\left(1+sinx.cosx\right)=0$

$\Leftrightarrow\left(sinx-cosx\right)\left(2+2\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\right)=0$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=cosx\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\2+2\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx=0\left(1\right)\end{matrix}\right.$

Xét (1), đặt $sinx+cosx=a\Rightarrow sinx.cosx=\frac{a^2-1}{2}$ với $\left|a\right|\le\sqrt{2}$

$\left(1\right)\Leftrightarrow2+2a+\frac{a^2-1}{2}=0$

$\Leftrightarrow a^2+4a+3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\a=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow sinx+cosx=-1\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

b/

Nhận thấy $sinx=0$ không phải nghiệm, pt tương đương:

$sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x=\frac{1}{16}sinx$

$\Leftrightarrow8sin2x.cos2x.cos4x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow4sin4x.cos4x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow2sin8x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow sin16x=sinx$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}16x=x+k2\pi\16x=\pi-x+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{k2\pi}{15}\x=\frac{\pi}{17}+\frac{k2\pi}{17}\end{matrix}\right.$Câu trả lời: b/

Nhận thấy $sinx=0$ không phải nghiệm, pt tương đương:

$sinx.cosx.cos2x.cos4x.cos8x=\frac{1}{16}sinx$

$\Leftrightarrow8sin2x.cos2x.cos4x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow4sin4x.cos4x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow2sin8x.cos8x=sinx$

$\Leftrightarrow sin16x=sinx$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}16x=x+k2\pi\16x=\pi-x+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{k2\pi}{15}\x=\frac{\pi}{17}+\frac{k2\pi}{17}\end{matrix}\right.$

Nguyễn Việt Lâm · Answer

c/

ĐKXĐ: $sin4x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{k\pi}{4}$

$\Leftrightarrow\frac{sin4x}{cosx}+\frac{sin4x}{sin2x}=2$

$\Leftrightarrow4sinx.cos2x+2cos2x=2$

$\Leftrightarrow cos2x\left(2sinx+1\right)=1$

$\Leftrightarrow\left(1-2sin^2x\right)\left(2sinx+1\right)=1$

$\Leftrightarrow4sin^3x+2sin^2x-2sinx=0$

$\Leftrightarrow2sinx\left(2sin^2x+sinx-1\right)=0$

$\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-1=0$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-1\left(l\right)\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.$Câu trả lời: c/