Question

Cho phương trình: \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+4m+3=0\) (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 0.

b) Tìm giá trị của m để biểu thức \(A=x^2_1+x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Answer 1

a) Với m = 0 , ta có :

(1) ⇔ x² - 4x + 3 = 0

⇔ ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

b) Để PT có 2 nghiệm x₁, x₂ thì :

Δ ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 0 ( BĐT đúng với mọi m ∈ R )

Theo Vi-ét ta có :\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

⇒ A = x₁² + x₂² = ( x₁ + x₂ )² - 2x₁x₂

= 4 ( m + 2 )² - 2 ( m² + 4m + 3 )

= 4 ( m² + 4m + 4 ) - 2m² - 8m - 6

= 2m² + 8m + 10

= 2 ( m + 2 )² + 2 ≥ 2

Dấu " = " xảy ra khi ( m + 2 )² = 0 ⇔ m = - 2

Vậy A_min = 2 khi m = -2

Answer 2

Xét phương trình :

\(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2+4m+3=0\)

\(\left(a=1;b=-2\left(m+2\right);c=m^2+4m+3\right)\)

\(b'=-\left(m+2\right)\)

a/ Thay \(m=0\) vào phương trình ta có :

\(x^2-2\left(0+2\right)x+0^2+4.0+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\end{matrix}\right.\)

Vậy...

b/ Ta có :

\(\Delta'=b'^2-ac\)

\(=\left(m+2\right)^2-1.\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=m^2+4m+4-m^2-4m-3\)

\(=1>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'>0\)

\(\Leftrightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí Viet ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2\left(m+2\right)=2m+4\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2+4m+3\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(A=x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)

\(=\left(2m+4\right)^2-2\left(m^2+4m+3\right)\)

\(=4m^2+16m+16-2m^2-8m-6\)

\(=2m^2-8m+10\)

\(=2\left(m^2-4m+5\right)\)

\(=2\left(m-2\right)^2+2\)

Với mọi m ta có : \(\left(m-2\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(m-2\right)^2+2\ge2\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy..