Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

D.Công Thiện

Cho hàm số f(x)= \(\frac{2x+m}{\sqrt{2x^2+3}}\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m \(\in\)[-10;10] để min\(_R\)f(x) \(\ge\) -3 ?

A. 8 B. 4 C. 20 D. 9

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 8 2020 lúc 5:26

Hơi phân vân 1 xíu về đề bài, đề hỏi thế này nghĩa là hàm cần đạt cả 2 điều: 1. Tồn tại GTNN trên toàn miền R (global minimum) 2. \(\min\limits_Rf\left(x\right)\ge-3\) đúng ko?

Hàm số đã cho xác định trên R nên liên tục trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x+m}{\sqrt{2x^2+3}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x+m}{\sqrt{2x^2+3}}=\frac{2}{-\sqrt{2}}=-\sqrt{2}\)

\(f'\left(x\right)=\frac{2\sqrt{2x^2+3}-\frac{2x\left(2x+m\right)}{\sqrt{2x^2+3}}}{2x^2+3}=\frac{6-2mx}{\left(2x^2+3\right)\sqrt{2x^2+3}}\)

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có tối đa 1 nghiệm nên \(f\left(x\right)\) có tối đa 1 cực trị

- Với \(m>0\Rightarrow f\left(x\right)\) chỉ có cực đại, ko có cực tiểu nên không tồn tại GTNN

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\) hàm ko tồn tại GTNN

- Với \(m< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=\frac{3}{m}\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng thời đạt min trên R tại \(x=\frac{3}{m}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{3}{m}\right)=-\frac{m^2+6}{\sqrt{3m^2+18}}\ge-3\)

\(\Leftrightarrow m^2+6\le3\sqrt{3m^2+18}\)

\(\Leftrightarrow m^4-15m^2-126\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2\le21\Rightarrow-\sqrt{21}< m< 0\)

Kết hợp các trường hợp và lấy m nguyên ta được \(-4\le m< 0\)

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn (nếu chỉ cần tìm m sao cho \(f\left(x\right)\ge-3;\forall x\in R\) thì có 15 giá trị nguyên)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
AllesKlar
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
Yến Hà
Xem chi tiết
Minh Anh
Xem chi tiết
Rd Võ
Xem chi tiết
Pham Tien Dat
Xem chi tiết
nguyễn thị mai anh
Xem chi tiết
Phan Nguyễn Hồng Nhung
Xem chi tiết