Question

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-12x-y^3+6y^2-16=0\\4x^2+2\sqrt{4-x^2}-5\sqrt{4y-y^2}+6=0\end{matrix}\right.\)

Answer 1

ĐKXĐ:

Từ pt dưới: \(4x^2+2\sqrt{4-x^2}=5\sqrt{4y-y^2}-6\)

\(VP=5\sqrt{4-\left(y-2\right)^2}-6\le5\sqrt{4}-6=4\)

\(VT=4x^2+\sqrt{16-4x^2}\)

Đặt \(\sqrt{16-4x^2}=t\Rightarrow0\le t\le4\)

\(VT=-t^2+t+16=\left(4-t\right)\left(t+3\right)+4\ge4\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}y-2=0\\t=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt đầu thấy thỏa mãn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(0;2\right)\)