Hệ phương trình đối xứng

Anh Trâm

tìm m để hệ có nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+4}+2y=m\\x^2+4y^2=m-2\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 26 tháng 7 2020 lúc 16:28

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+4}=a\ge2\\2y=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-4+b^2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=m-a\\a^2+b^2-m-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+\left(m-a\right)^2-m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-m-2=0\) (1)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm \(a\ge2\)

- Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-m-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-m^2+2m+4\ge0\Rightarrow1-\sqrt{5}\le m\le1+\sqrt{5}\)

- Để (1) có 2 nghiệm \(a_1\le a_2< 2\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a_1-2\right)\left(a_2-2\right)>0\\\frac{a_1+a_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1a_2-2\left(a_1+a_2\right)+4>0\\a_1+a_2< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{m^2-m-2}{2}-2m+4>0\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+6>0\\m< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< 2\end{matrix}\right.\\m< 4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 2\\3< m< 4\end{matrix}\right.\)

Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow2\le m\le3\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN