Bài 1: Mở đầu về phương trình

Anh Duy

giải phương trình (x-12)^7+(2x-12)^7+(24-3x)^7=0

Giúp mik nhé

Đúng mik tick

Akai Haruma
24 tháng 7 2020 lúc 11:44

Lời giải:

Đặt $x-12=a; 2x-12=b; 24-3x=c$ thì $a+b=-c$

PT trở thành:

$a^7+b^7+c^7=0$

$\Leftrightarrow (a^3+b^3)(a^4+b^4)-a^3b^3(a+b)+c^7=0$

$\Leftrightarrow [(a+b)^3-3ab(a+b)][(a+b)^4+2a^2b^2-4ab(a+b)^2]-a^3b^3(a+b)+c^7=0$

$\Leftrightarrow (-c^3+3abc)(c^4+2a^2b^2-4abc^2)+a^3b^3c+c^7=0$

$\Leftrightarrow -c^7-2a^2b^2c^3+4abc^5+3abc^5+6a^3b^3c-12a^2b^2c^3+a^3b^3c+c^7=0$

$\Leftrightarrow -14a^2b^2c^3+7abc^5+7a^3b^3c=0$

$\Leftrightarrow abc(2abc^2-c^4-a^2b^2)=0$

Nếu $abc=0$ ta xét các TH:

$a=0\Rightarrow x=12$ (thỏa mãn)

$b=0\Rightarrow x=6$ (thỏa mãn )

$c=0\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn)

Nếu $2abc^2-c^4-a^2b^2=0$

$\Leftrightarrow (c^2-ab)^2=0\Rightarrow ab=c^2$

$\Leftrightarrow ab=[-(a+b)^2]=(a+b)^2\Leftrightarrow a^2+ab+b^2=0$

$\Leftrightarrow (a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2=0$

$\Rightarrow a+\frac{b}{2}=b=0\Rightarrow a=b=0$ (vô lý)

Vậy.......

Bình luận (0)
Quoc Tran Anh Le
24 tháng 7 2020 lúc 14:54

Mình sẽ trình bày lời giải thứ hai cho bài này:

Đặt x - 12 = a; 2x - 12 = b thì 24 - 3x = -(a+b). Như vậy, phương trình đã cho trở thành:

\(a^7+b^7-\left(a+b\right)^7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\)

\(-\left(a+b\right)\left(a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\right)\)= 0.

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(-7a^5b-14a^4b^2-21a^3b^3-14a^2b^4-7ab^5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).-7ab.\left(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-7ab\left(a+b\right)\left[\left(a^2+ab\right)^2+a^2b^2+\left(b^2+ab\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-12=0\\2x-12=0\\3x-24=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=6\\x=8\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\left\{6;8;12\right\}\)

P/s: Đây là bài 1b, đề thi THPT chuyên Khoa học tự nhiên - Hà Nội, vòng 2 (Toán chuyên), 2020.

Bình luận (0)
Linh
1 tháng 10 2020 lúc 20:22

Lời giải:

Đặt x−12=a;2x−12=b;24−3x=cthì a+b=−c

PT trở thành:

a7+b7+c7=0

⇔(a3+b3)(a4+b4)−a3b3(a+b)+c7=0

⇔[(a+b)3−3ab(a+b)][(a+b)4+2a2b2−4ab(a+b)2]−a3b3(a+b)+c7=0

⇔(−c3+3abc)(c4+2a2b2−4abc2)+a3b3c+c7=0

⇔−c7−2a2b2c3+4abc5+3abc5+6a3b3c−12a2b2c3+a3b3c+c7=0

⇔−14a2b2c3+7abc5+7a3b3c=0

⇔abc(2abc2−c4−a2b2)=0

Nếu abc=0 ta xét các TH:

a=0⇒x=12 (thỏa mãn)

b=0⇒x=6 (thỏa mãn )

c=0⇒x=8 (thỏa mãn)

Nếu 2abc2−c4−a2b2=0

⇔(c2−ab)2=0⇒ab=c2

⇔ab=[−(a+b)2]=(a+b)2⇔a2+ab+b2=0

⇔(a+b2)2+34b2=0

⇒a+b2=b=0⇒a=b=0 (vô lý)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
nguyễn thị mai phương
Xem chi tiết
Quỳnh Trang
Xem chi tiết
Linh Ngô
Xem chi tiết
Tran Thi Loan
Xem chi tiết
Ngọc tấn đoàn
Xem chi tiết
Ngọc Duyên
Xem chi tiết
Hoài An
Xem chi tiết
Lê Hà Tấn Phong
Xem chi tiết
Trường Giang Lương
Xem chi tiết