Lời giải:
Đặt $x-12=a; 2x-12=b; 24-3x=c$ thì $a+b=-c$
PT trở thành:
$a^7+b^7+c^7=0$
$\Leftrightarrow (a^3+b^3)(a^4+b^4)-a^3b^3(a+b)+c^7=0$
$\Leftrightarrow [(a+b)^3-3ab(a+b)][(a+b)^4+2a^2b^2-4ab(a+b)^2]-a^3b^3(a+b)+c^7=0$
$\Leftrightarrow (-c^3+3abc)(c^4+2a^2b^2-4abc^2)+a^3b^3c+c^7=0$
$\Leftrightarrow -c^7-2a^2b^2c^3+4abc^5+3abc^5+6a^3b^3c-12a^2b^2c^3+a^3b^3c+c^7=0$
$\Leftrightarrow -14a^2b^2c^3+7abc^5+7a^3b^3c=0$
$\Leftrightarrow abc(2abc^2-c^4-a^2b^2)=0$
Nếu $abc=0$ ta xét các TH:
$a=0\Rightarrow x=12$ (thỏa mãn)
$b=0\Rightarrow x=6$ (thỏa mãn )
$c=0\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn)
Nếu $2abc^2-c^4-a^2b^2=0$
$\Leftrightarrow (c^2-ab)^2=0\Rightarrow ab=c^2$
$\Leftrightarrow ab=[-(a+b)^2]=(a+b)^2\Leftrightarrow a^2+ab+b^2=0$
$\Leftrightarrow (a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2=0$
$\Rightarrow a+\frac{b}{2}=b=0\Rightarrow a=b=0$ (vô lý)
Vậy.......
Mình sẽ trình bày lời giải thứ hai cho bài này:
Đặt x - 12 = a; 2x - 12 = b thì 24 - 3x = -(a+b). Như vậy, phương trình đã cho trở thành:
\(a^7+b^7-\left(a+b\right)^7=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^6-a^5b+a^4b^2-a^3b^3+a^2b^4-ab^5+b^6\right)\)
\(-\left(a+b\right)\left(a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\right)\)= 0.
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(-7a^5b-14a^4b^2-21a^3b^3-14a^2b^4-7ab^5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right).-7ab.\left(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-7ab\left(a+b\right)\left[\left(a^2+ab\right)^2+a^2b^2+\left(b^2+ab\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\b=0\\a+b=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-12=0\\2x-12=0\\3x-24=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=6\\x=8\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x=\left\{6;8;12\right\}\)
P/s: Đây là bài 1b, đề thi THPT chuyên Khoa học tự nhiên - Hà Nội, vòng 2 (Toán chuyên), 2020.
Lời giải:
Đặt x−12=a;2x−12=b;24−3x=cthì a+b=−c
PT trở thành:
a7+b7+c7=0
⇔(a3+b3)(a4+b4)−a3b3(a+b)+c7=0
⇔[(a+b)3−3ab(a+b)][(a+b)4+2a2b2−4ab(a+b)2]−a3b3(a+b)+c7=0
⇔(−c3+3abc)(c4+2a2b2−4abc2)+a3b3c+c7=0
⇔−c7−2a2b2c3+4abc5+3abc5+6a3b3c−12a2b2c3+a3b3c+c7=0
⇔−14a2b2c3+7abc5+7a3b3c=0
⇔abc(2abc2−c4−a2b2)=0
Nếu abc=0 ta xét các TH:
a=0⇒x=12 (thỏa mãn)
b=0⇒x=6 (thỏa mãn )
c=0⇒x=8 (thỏa mãn)
Nếu 2abc2−c4−a2b2=0
⇔(c2−ab)2=0⇒ab=c2
⇔ab=[−(a+b)2]=(a+b)2⇔a2+ab+b2=0
⇔(a+b2)2+34b2=0
⇒a+b2=b=0⇒a=b=0 (vô lý)