Violympic toán 9

Nguyễn Thị Ngọc Hân

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức

\(Q=\frac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}+\frac{\left(1-a\right)^2}{\sqrt{2\left(c+a\right)^2+ca}}+\frac{\left(1-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a+b\right)^2+ab}}\)

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 7 2020 lúc 22:06

\(\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}\le\sqrt{2\left(b+c\right)^2+\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2}=\frac{3}{2}\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(1-c\right)^2}{\sqrt{2\left(b+c\right)^2+bc}}\ge\frac{2}{3}.\frac{\left(1-c\right)^2}{\left(b+c\right)}\)

Tương tự ta có:

\(Q\ge\frac{2}{3}\left(\frac{\left(1-c\right)^2}{b+c}+\frac{\left(1-a\right)^2}{a+c}+\frac{\left(1-b\right)^2}{a+b}\right)\)

\(Q\ge\frac{2}{3}.\frac{\left(1-a+1-b+1-c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(3-\left(a+b+c\right)\right)^2}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{4}{3}\)

\(Q_{min}=\frac{4}{3}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Doãn Hoài Trang
Xem chi tiết
Phuong Tran
Xem chi tiết
𝓓𝓾𝔂 𝓐𝓷𝓱
Xem chi tiết
Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
vũ manh dũng
Xem chi tiết