Question

Cho hình chóp S.ABC có SB=\(2\sqrt{3}a;AB=2\sqrt{2}a\);\(\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{^o}\);\(\left(\widehat{SB,\left(ABC\right)}\right)=30^{^O};\left(\widehat{\left(SBC\right),\left(ABC\right)}\right)=60^{^O}\). Tính V(S.ABC).

Đ/á: \(\frac{16\sqrt{6}a^3}{27}\)

Answer 1

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SH\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAH\right)\Rightarrow AB\perp AH\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SC\perp BC\\SH\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SCH\right)\Rightarrow BC\perp CH\)

\(SA=\sqrt{SB^2-AB^2}=2a\)

\(\widehat{SBH}=30^0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SH=a\sqrt{3}\\BH=3a\end{matrix}\right.\)

\(\widehat{SCH}=60^0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CH=a\\SC=2a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại B

\(AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=a\Rightarrow\Delta AHC\) cân tại H

\(\Rightarrow AC\) vuông góc BH tại M với M là trung điểm AC

Hệ thức lượng: \(AC=2AM=\frac{2.AH.AB}{BH}=\frac{4a\sqrt{2}}{3}\)

\(BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\frac{8a}{3}\)

\(V=\frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}BM.AC=\frac{16a^3\sqrt{6}}{27}\)

#meisngoctho