Question

Cho a,b là các số thực sao cho \(a^2+b^2=4+ab\) chứng minh \(\frac{8}{3}\le a^2+b^2\le8\) dấu bằng xảy ra khi nào

Answer 1

\(a^2+b^2=4+ab\le4+\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\le4\Rightarrow a^2+b^2\le8\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

\(a^2+b^2=4+\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{8}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=-b=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) và hoán vị