Violympic toán 9

Natsu Dragneel 2005

Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau : \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=x\)

Tính : P = x . abc

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 16 tháng 7 2020 lúc 20:55

Lời giải:

$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=x(*)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=\frac{b-c}{bc}\\ b-c=\frac{c-a}{ca}\\ c-a=\frac{a-b}{ab}\end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)=\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(abc)^2}\)

Do $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $(a-b)(b-c)(c-a)\neq 0$

$\Rightarrow 1=\frac{1}{(abc)^2}\Rightarrow abc=\pm 1$ TH1: $abc=1$ thì:

$(*)\Leftrightarrow a+ac=b+ab=c+bc=x$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab+1=xb\\ b+ab=x\end{matrix}\right.\Rightarrow b-1=x(1-b)\)\(\Leftrightarrow (b-1)(x+1)=0\)

Nếu $b=1$ thì $ac=1$. Khi đó: $a+1=1+a=2c=\frac{2}{a}$

$\Rightarrow a^2+a-2=0\Leftrightarrow (a-1)(a+2)=0$. Vì $a\neq b$ nên $a=-2\Rightarrow c=\frac{-1}{2}$

Khi đó $x=-1$

Nếu $x+1=0\Rightarrow x=-1$

Tóm lại $x=-1\Rightarrow P=xabc=(-1).1=-1$

TH2: $abc=-1$ thì:

$(*)\Leftrightarrow a-ac=b-ab=c-bc=x$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab+1=xb\\ b-ab=x\end{matrix}\right.\Rightarrow b+1=x(1+b)\Leftrightarrow (b+1)(x-1)=0\)

Nếu $b=-1$ thì $ac=1$. Khi đó: $a-1=-1+a=2c=\frac{2}{a}$

$\Rightarrow a^2-a-2=0\Leftrightarrow (a-2)(a+1)=0$. Vì $a\neq b$ nên $a=2\Rightarrow c=\frac{1}{2}$

Khi đó $x=1$

Nếu $x-1=0\Rightarrow x=1$. Tóm lại $x=1$

$\Rightarrow P=xabc=1(-1)=-1$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN