Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Nguyễn Bảo Châu

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) với a > 0, b> 0

chứng minh biểu thức trên.

Akai Haruma
14 tháng 7 2020 lúc 15:21

Lời giải:

Với $a,b>0$:

$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{a+b}{ab}\geq 4$

$\Leftrightarrow (a+b)^2\geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-4ab\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Do đó BĐT trên được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$

Bình luận (0)
mỹ phạm
14 tháng 7 2020 lúc 16:18

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm, ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ( 1 )

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) nhân vế theo vế, ta có :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\) đpcm

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phi Nhung
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mỹ Lệ
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Du Dư Huệ
Xem chi tiết
Lê Hồng Ánh
Xem chi tiết
Cindy Phương
Xem chi tiết
Lê Thu Trang
Xem chi tiết
Hồ Hoàng Thành
Xem chi tiết
phú tâm
Xem chi tiết