Giúp mình giải bài này với : cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm o đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại F và E . Gọi H là giao điểm của BE và CF. a/ chứng minh AH vuông góc với BC. b/ gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OFIE nội tiếp. c/ Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng FI và BC. Kẻ FK vuông góc với BC (K thuộc BC). Chứng minh: góc MFB= góc KFB và BM.CK=BK.CM.
ko vẽ hình đâu ạ.
Lời giải:
a) Ta thấy $BC$ là đường kính nên $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
$\Leftrightarrow BE\perp AC, CF\perp AB$. Mà $BE, CF$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ chính là trực tâm tam giác $ABC$
$\Rightarrow AH\perp BC$ (đpcm)
b) Gọi $T$ là giao điểm $AH-BC$ thì $AT\perp BC$
Ta có:
Tam giác $FOC$ cân tại $O$ nên $\widehat{OFC}=\widehat{OCF}=\widehat{TCH}(1)$
Xét tam giác $AFH$ vuông tại $F$ có đường trung tuyến $FI$ ứng với cạnh huyền $AH$ nên $FI=\frac{AH}{2}=IH$
$\Rightarrow \triangle FIH$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{HFI}=\widehat{FHI}=\widehat{THC}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{OFI}=\widehat{OFC}+\widehat{HFI}=\widehat{TCH}+\widehat{THC}=180^0-\widehat{HTC}=90^0$
Hoàn toàn tương tự: $\widehat{OEI}=90^0$
$\Rightarrow \widehat{OFI}+\widehat{OEI}=180^0$. Hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác $OFIE$ nội tiếp.
c) Phần b ta đã chỉ ra $\widehat{OFI}=90^0$ nên $OF\perp IF$
$\Rightarrow IF$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\Rightarrow MF$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{BCF}(3)$
Mặt khác: $\widehat{KFB}=\widehat{BCF}(=90^0-\widehat{KFC})(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \widehat{MFB}=\widehat{KFB}$ (đpcm)
$\Rightarrow FB$ là tia phân giác trong của góc $\widehat{MFK}$
$\Rightarrow \frac{BK}{BM}=\frac{FK}{FM}$
Lại có:
$FB$ là tia phân giác trong $\widehat{MFK}$, $FB\perp FC$ nên $FC$ là tia phân giác ngoài.
$\Rightarrow \frac{CK}{CM}=\frac{FK}{FM}$ (tính chất tia phân giác)
Do đó: $\frac{BK}{BM}=\frac{CK}{CM}$
$\Leftrightarrow BK.CM=BM.CK$
