- Với \(a=-1\Rightarrow y=0\) vô nghiệm \(\Rightarrow\) miền giá trị của y ko chứa 0 (ko thỏa mãn)
- Với \(a< 0;a\ne-1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow-\sqrt{-a}^+}y=+\infty\\\lim\limits_{x\rightarrow\sqrt{-a}^-}y=-\infty\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) miền giá trị của y là R (thỏa mãn) (chính xác hơn là phải xét 2 TH \(a< -1\) và \(-1< a< 0\) )
- Với \(a=0\Rightarrow y'=\frac{-x^2-2x}{x^4}\Rightarrow y\ge y\left(-2\right)=-\frac{1}{4}\Rightarrow\) miền giá trị của y chứa [0;1] (thỏa mãn)
- Với \(a>0\)
Gọi m và M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số, để tập giá trị của y chứa \(\left[0;1\right]\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le0\\M\ge1\end{matrix}\right.\)
\(y'=\frac{x^2+a-2x\left(x+1\right)}{\left(x^2+a\right)^2}=\frac{-x^2-2x+a}{\left(x^2+a\right)^2}\) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu
\(-x^2-2x+a=0\Rightarrow\left(x+1\right)^2=a+1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-1-\sqrt{a+1}\\x_2=-1+\sqrt{a+1}\end{matrix}\right.\)
\(x_1< -1\Rightarrow y\left(x_1\right)< 0\Rightarrow m< 0\); \(\forall a>0\)
Do đó ta chỉ cần tìm a để \(M\ge1\)
\(\Leftrightarrow y\left(x_2\right)\ge1\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a+1}}{\left(-1+\sqrt{a+1}\right)^2+a}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+1}\ge2a+2-2\sqrt{a+1}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt{a+1}\ge2a+2\)
\(\Leftrightarrow-4a^2+a+5\ge0\)
\(\Rightarrow-1\le a\le\frac{5}{4}\)
Kết hợp lại, ta được \(\left\{{}\begin{matrix}a\le\frac{5}{4}\\a\ne-1\end{matrix}\right.\)
