Question

Cho a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện ab+bc+ca=1 chứng minh rằng a³+b³+c³ ≥ 1/√3

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^3+b^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}ab$

$b^3+c^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}bc$

$c^3+a^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}ac$

Cộng theo vế và thu gọn ta có:

$2(a^3+b^3+c^3)+\frac{1}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac)=\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$