Question

Cho 2 số dương a,b thỏa mãn \(a^3-2a^2+a^2b+2a+2b=4\)

Tìm Min P với \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

Mọi người giúp em với ạ, làm theo kiểu biến đổi điều đã cho thành tích 2 thừa số = 0 ạ

^{_{Cho em up lên CHH tí vì em đang gấp ạ :<}}

Answer 1

\(\Leftrightarrow a^2\left(a+b-2\right)+2\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(a+b-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\)

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=2\)

Answer 2

Gấp không có nghĩa là cho lên CHH nha :D

\(a^3-2a^2+a^2b+2a+2b=4\Leftrightarrow a^2\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)-2a^2-4=0\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(a+b\right)-2\left(a^2+2\right)=0\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(a+b-2\right)=0\)

Vì \(a^2+2>0\forall a\)

\(\Rightarrow a+b-2=0\Leftrightarrow a+b=2\)

\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\Rightarrow P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}=\frac{4}{2}=2\)

Vậy \(Min_P=2\Leftrightarrow a=b=1\)