Violympic toán 9

Annie Scarlet

Cho x,y>0 thỏa mãn \(x^2+y^2=2\). Tìm GTNN của \(P=\frac{x^2}{\sqrt{y}}+\frac{y^2}{\sqrt{x}}\)

Nguyễn Việt Lâm
1 tháng 7 2020 lúc 21:11

Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow a^4+b^4=2\)

\(\Rightarrow2=a^4+b^4\ge2a^2b^2\Rightarrow ab\le1\)

Lại có: \(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{a^{12}}=4a^3\) ; \(3b^4+1\ge4b^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4\right)+2\ge4\left(a^3+b^3\right)\Rightarrow a^3+b^3\le2\)

\(P=\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{a}=\frac{a^8}{a^4b}+\frac{b^8}{ab^4}\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{ab\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{2^2}{1.2}=2\)

\(P_{min}=2\) khi \(a=b=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Dương Nguyễn
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
long đỗ
Xem chi tiết
DTD2006ok
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Mạnh
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết