Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Nguyễn Mai

Với mọi số nguyên dương n, chứng minh \(\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)là số nguyên dương

Nguyễn Lê Phước Thịnh
30 tháng 6 2020 lúc 21:44

Đặt \(a=3-\sqrt{5}\); \(b=3+\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow S_1=a+b=6\)\(P=ab=\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)=3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=9-5=4\)

Ta có: \(S_n=\left(3+\sqrt{5}\right)^n+\left(3-\sqrt{5}\right)^n\)

\(=b^n+a^n=a^n+b^n\)

\(=\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\)

\(=S_1\cdot S_{n-1}-P\cdot S_{n-2}\)

Vậy nên Sn biểu diễn được chỉ bằng S1P nên nó là số nguyên dương

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Lệ Nguyễn Thị Mỹ
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng trung
Xem chi tiết
阮芳邵族
Xem chi tiết
Uyên Dii
Xem chi tiết
Huyen Nguyen
Xem chi tiết
Edogawa Conan
Xem chi tiết