Question

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)

Tìm GTLN của A= ab+bc+ac+a+b+c

Answer 1

Ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\) (1)

Lại có: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2):

\(2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3=12\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)