Question

Có bao nhiêu số nguyên m \(\in\)[-5;5] để hàm số f(x)=x³-3mx²-9m²x nghịch biến trên khoảng (-3;0).

Answer 1

\(f'\left(x\right)=g\left(x\right)=3x^2-6mx-9m^2\)

- Với \(m=0\Rightarrow f'\left(x\right)=3x^2\ge0;\forall x\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R (ktm)

- Với \(m\ne0\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm pb

Để \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(\left(-3;0\right)\Leftrightarrow f'\left(x\right)\le0;\forall x\in\left(-3;0\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1< -3< 0< x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}g\left(-3\right)< 0\\g\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-9m^2+18m+27< 0\\-9m^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>3\\m< -1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{-5;-4;-3;-2;4;5\right\}\)