Ra rồi :))
Có tam giác ABC cân tại C=> Đường trung tuyến CG đồng thời là đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB=> phương trình đường thẳng CG nhận vecto chỉ phương của AB làm vecto pháp tuyến
Ta sẽ viết phương trình CG:
\(\overrightarrow{AB}=\left(-1;1\right)\Rightarrow CG:-1\left(x-\frac{14}{3}\right)+y-\frac{5}{3}=0\)
\(CG:y-x+3=0\)
\(CG\cap AB\left\{H\right\}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\y-x+3=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\)
\(A\in AB\Rightarrow A\left(a;-a+2\right);B\left(b;-b+2\right)\)
\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{HB}\Rightarrow\left(\frac{5}{2}-a;-\frac{1}{2}+a-2\right)=\left(b-\frac{5}{2};-b+2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow b+a=5\)
\(\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CH}\Leftrightarrow\left(\frac{14}{3}-x_C;\frac{5}{3}-y_c\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}-x_C;-\frac{1}{2}-y_C\right)\)
\(\Rightarrow C\left(9;6\right)\)
\(\Rightarrow CH=\sqrt{\left(\frac{5}{2}-9\right)^2+\left(-\frac{1}{2}-6\right)^2}=\frac{13\sqrt{2}}{2}\)
\(CH.AB=65\Rightarrow AB=5\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(b-a\right)^2+\left(-b+2+a-2\right)^2=50\)
\(\Rightarrow\left(5-2a\right)^2+\left(2a-5\right)^2=50\)
\(\Leftrightarrow4a^2-40a+25+4a^2-40a+25=50\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=10\\a=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-5\\b=5\end{matrix}\right.\)
Đến đoạn này mình gợi ý nhé :)
Tìm được tọa độ A,B,C rồi, ta sẽ tìm được độ dài các cạnh của tam giác, áp dụng công thức \(S=\frac{abc}{4R}\) để tìm R.
Tìm tọa độ tâm I, ta có IA=IB, mà I thuộc CG nên \(I\left(c;c-3\right)\) nên sẽ tìm được tọa độ tâm I, rồi lập phương trình là xong :)
Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CM\perp AB\\G\in CM\end{matrix}\right.\) theo tính chất tam giác cân
Phương trình đường thẳng CM:
\(1\left(x-\frac{14}{3}\right)-1\left(y-\frac{5}{3}\right)=0\Leftrightarrow x-y-3=0\)
M là giao điểm CM và AB nên tọa độ thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{MG}=\left(\frac{13}{6};\frac{13}{6}\right)\)
Mà \(\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\Rightarrow C\left(9;6\right)\Rightarrow CM=\frac{13\sqrt{2}}{2}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}CM.AB\Rightarrow AB=\frac{2S_{ABC}}{CM}=5\sqrt{2}\Rightarrow AM=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
Phương trình đường tròn (C) tâm M đường kính AB có dạng:
\(\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\)
A và B là giao điểm của đường thẳng AB và (C) nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\)
Giải hệ trên ra tọa độ A; B, biết tọa độ A hoặc B viết pt trung trực AC cắt CM tại I là tâm => pt đường tròn ngoại tiếp
